Докажите, что середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба

В общем случае утверждение неверное. У ромба диагонали пересекаются под прямым углом (и делятся точкой пересечения пополам) Диагоналями четырехугольника будут отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон параллелограмма. Эти отрезки будут параллельны сторонам параллелограмма. Значит угол между ними будет равен углу между сторонами параллелограмма. Итого: для верности утверждения требуется, чтобы параллелограм прямоугольником.