Можно ли провести замкнутую кривую, которая пересекает данную окружность равно…

Нет, нельзя. Можно только 2002 или 2004 раза, то есть четное количество раз, начерти окружность, просто, от руки, пересеки его одним отрезком, концы отрезка окажутся по разные стороны окружности, замкнуть их нельзя, от конца этого отрезка начерти еще один отрезок, теперь концы двух отрезков по 1 сторону окружности, но замкнуть ломаную (кривую) из двух отрезков тоже нельзя, для этого нужно как минимум 4 отрезка и более, только четное число