1. По кругу расставлены 100 чисел. Известно, что каждое число равно среднему…

А) очевидно, что случай, когда все числа равны, является решением задачи Б) предположим, что все числа не равны между собойтогда возьмем наибольшее из них (оно, очевидно, найдется, иначе, если его нет, то все равны между собой и мы приходим к п. А) обозначим наибольшее число буквой X рассмотрим соседей наибольшего числа — если они оба меньше его, то, очевидно, их среднее арифметическое меньше X — противоречиено ни один из соседей не может быть больше X, так как мы взяли X наибольшим числом отсюда получаем, что оба соседа X в точности равны ему самому, следовательно, число, стоящее слева или справа от соседа числа X, так же равно X (т.к. они должно удовлетворять уравнению (X+Y) /2=X (где Y — сосед соседа X) отсюда получаем, что все числа в круге равны X => равны между собой, что и требовалось доказать