Тут уже есть одно решение, однако, раз присуствует Пифагорова тройка, я предложу свое, немного — совсем чуть-чуть — нестандартное. Заданный равнобедренный треугольник можно разрезать на два Пифагоровых со сторонами (5,12,13), проведя медиану-высоту-биссектрису к основанию. Действительно, половина основания 5, высота 12, поэтому боковая сторона 13. При этом мы нашли — заодно — и синус угла при основании, он равен 12/13. Отсюда получаем для радиуса описанной окружности 2*R*12/13=13; R=169/24. Если такой способ не нравится (хотя не понятно, чем) — есть много способов получить эту величину. Например, можно провести препендикуляр к боковой стороне через вершину основания до пересечения с продолжением высоты-медианы-биссектрисы (то есть оси симметрии исходного треугольника). Расстояние между полученной точкой и вершиной треугольника (противолежащей основанию, отрезок оси симметрии) — это диаметр описанной окружности (поскольку вписанный прямой угол всегда опирается на диаметр). Поскольку при этом получился опять Пифагоров треугольник (точнее, ему подобный), тоD/13=13/12, то есть ответ будет таким же. Найдем теперь радиус вписанной окружности. Для этого из центра ВПИСАННОЙ окружности проведем препендикуляр к боковой стороне. Отрезок от вершины до центра вписаной окружности это 12 — r, и получившийся треугольник, в котором этот отрезок — гипотенуза, а проведеный радиус — катет, опять подобен пифагоровому (5,12,13) (ну, просто у них угол общий Получается r/ (12 — r)=5/13; откуда найдем r=10/3; Опять таки, если такой элегантный способ не нравится, в нашем распоряжеии есть и тупой Считаем периметр 13*2+10=36 и площадь 10*12/2=60, r=2*60/36=10/3; так мы не потратим ни одной извилины, но получим результат. Кому что нравится
