Задачу можно очень сильно упростить. Точка К — центр грани А1B1C1D1 — принадлежит прямым B1D1 и A1C1, то есть — обеим плоскостям. Точно так же центр грани ABB1A1 — точка М принадлежит A1B и B1A, то есть опять таки обеим плоскостям. Таким образом КМ — линия пересечения плоскостей. Треугольники А1КМ и В1КМ — равносторонние. Если считать, что их сторона равна 1, то ребро куба равно √2, а высота треугольника А1КМ (и В1КМ — тоже) равна √3/2; То есть если обозначить косинус угла между перпендикулярами к КМ из точек A1 и В1 как х, то по теореме косинусов (√2) ^2=(√3/2) ^2+(√3/2) ^2 — 2*(√3/2)*(√3/2)*x; x=-1/3; Конечно, знак тут никакой роли не играет, просто выбранный для вычисления треугольник — тупоугольный. Дополнительный к нему угол имеет косинус 1/3; это просто вопрос выбора. На самом деле, самое простое решение этой задачи получается, если применить координатный метод. Пусть Р — середина А1В1. Пусть начало координат лежит в ней, ось Z проходит через точку М, Х — через точку К, Y — через точки А1 и В1. Здесь я принимаю ребро куба равным 2, то есть РА1=РВ1=РК=РМ=1; Плоскость ВА1С1 — то есть плоскость А1КМ проходит через точки К=(1,0,0); А1=(0,-1,0); М=(0,0,-1); уравнение такой плоскости x — y — z=1 можете проверить, что все три точки удовлетворяют этому уравнению) Отсюда нормальный вектор к этой плоскости q=(1,-1,-1); модуль этого вектора равен √3Плоскость АВ1С1 — то есть плоскость В1КМ проходит через точки К=(1,0,0); В1=(0,1,0); М=(0,0,-1); уравнение такой плоскости x+y — z=1; Отсюда нормальный вектор к этой плоскости l=(1, 1,-1); модуль этого вектора тоже равен √3; осталось вычислить угол между нормальными векторами (равный, очевидно, углу между плоскостями), для чего надо их скалярно перемножить и разделить на модули. Скалярное произведение равно ql=1 — 1+1=1; а произведение модулей равно 3, откуда косинус угла равен 1/3. Видно, что тут ответ получается сам собой. Но большое преимущество такого метода в том, что им легко получать углы между плоскостями и в более сложных случаях, когда применение простых геометрических методов затруднительно.
