Пусть дан один равнобедренный треугольник и второй равнобедренный треугольник АВС с равными углам при основаниях, следовательно, и третий угол при вершине одного треугольника равен третьему углу второго. Эти треугольники подобны. В подобных треугольниках все их элементы пропорциональны, следовательно, точка пересечения биссектрисы угла при основании с высотой второго треугольника делит ее в том же отношении, что в первом, т.е. 5:3Высота ВН равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и биссектрисой и медианой. АН=НС. Имеем две биссектрисы треугольника АВС, которые пересекаются в некой точке О. Точка О пересечения биссектрис треугольника АВС является центром вписанной в него окружности. Из точки О проведем перпендикуляры ОМ и ОК к боковым сторонам треугольника. М, К и Н — точки касания окружности и сторон треугольника. ОМ=ОК=ОН=радиусу вписанной окружности. Пусть коэффициент отношения отрезков высоты равен х. Тогда ВО=5 х, ОН=3 х, ОМ=ОК=3 хТреугольники ВОМ и ВОК — египетские, т.к. катет и гипотенуза относятся как 3:5 ⇒ВМ=ВК=4 х (можно проверить по т. Пифагора) ВН=3 х +5 х=8 х Треугольники ВМО и ВНА — подобные, т.к. оба прямоугольные и имеют общий острый угол. Следовательно, треугольник ВНА тоже египетский, и из отношения сторон такого треугольника следует АВ=10 х, АН=6 х. Или из подобия треугольников через отношение сходственных сторонВН: ВМ=АН: ОМВН=3 х +5 х=8 х 8 х: 4 х=АН: МОАН: МО=2АН=6 хАВ=ВС=5*2=10 хВН — медиана, поэтому АС=6 х +6 х=12 хПериметр треугольника равен АВ + ВС + АС=48Р=10 х +10 х +12 х=32 х 32 х=48 х=1,5 смАВ=ВС=1,5*10=15 смАС=1,5*12=18 см
