Вписанный угол в 30°опирается на хорду, равную радиусу, а вписанный угол в 45° — на хорду, стягивающую дугу в 90°, т.е. равную стороне вписанного в окружность квадрата. Поэтому, если обозначить АС=b=√ (3+√3), то радиус описанной около АВС окружности R=b; а АВ=b*√2; Более того, точка S делит дугу АС (равную 60°) пополам (ВО — биссектриса), поэтому хорда SBстягивает дугу 90°+30°=120°, то есть BS=b*√3; Всеэто очень хорошо, но найти надо OS, а для этого надо найти положение центравписанной окружности. Есливнимательно посмотреть на приложенный рисунок, то можно заметить несколькоинтересных особенностей этой конструкции. Если Q — центр описанной окружности, аК – точка пересечения QA и BS, то QC II BS (простым сравнением углов). Посколькутреугольник QAC равносторонний, то CP=QK, АР=КР=АК=b — QK; легко видеть, поскольку угол KBQ=30°, что QK=b/√3; и ВК=2*QK=b*2/√3; а BS=3*QK (!). Теперь надо вычислить и ВР, и ВО, и СВ. Для упрощения вычислений я введу несколькопростых обозначений. Пусть QK=u; ВС=a; AB=c; BP=μ – длина биссектрисы; y=BO; x=OP; Тогда μ=BK+KP=2*u+(b – u)=b+u; a/c=u/ (b – u); a=c*u/ (b – u); По свойству биссектрисы y/x=(a+c) /b; y/x=(c+c*u/ (b – u) /b=c/ (b – u); y+x=μ=b+u; y=c*(b+u) / (c+b –u); Теперь сюда можно подставить значения u=b/√3; c=b*√2; Получается BO=y=b*√2*(√3+1) / (√6+√3 – 1); OS=BS – BO=b*(√3- √2*(√3+1) / (√6+√3 – 1)=√ (3+√3)*(√3 — √2*(√3+1) / (√6+√3 – 1); Я не буду искать упрощения этого выражения –подстановка в Excel и в Maple ничего недала, так что это скорее всего бесполезно. Ну, и хочется обратить внимание на то, что координатный метод тут просто сам просится — О это точка пересечения двух прямых СМ и BS, проходящих через точки с известными координатами, после определения координат точки О из соответствующей системы 2 линейных уравнений надо найти расстояние от O до S, координаты которой тоже известны. Для любителей комплексных переменных — отдельно — координаты точки О вычисляются очень легко
