Существует ли прямоугольный треугольник, у которого точка пересечения медиан…

Пусть a, b — катеты, c — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности. Точка пересечения медиан лежит на медиане к гипотенузе на расстоянии 2/3 ее длины от вершины прямого угла. Легко увидеть, что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 и b/3. Соединим эту точку с центром вписанной окружности, которая находится на расстоянии r от обоих катетов. Предположим, что этот отрезок равен r — и сразу получается соотношение. (a/3 — r) ^2+(b/3 — r) ^2=r^2a^2+b^2) /9 — 2*r*(a+b) /3+r^2=0; Подставим a+b=2*r+c; a^2+b^2=c^2; c^2/9 — 2*r*(2*r+c)+r^2=0; r^2+2*r*c — c^2/3=0r/c) ^2+2*(r/c) — 1/3=0; Обозначаем r/c=x; x^2+2*x — 1/3=0x+1) ^2=4/3; x=2*корень (3) /3 -1; поскольку a/c+b/c=2*(r/c)+1; тоsin (A)+cos (A)=4*корень (3) /3 -1; возводим в квадрат обе стороны 1+sin (2*A)=(4*корень (3) /3 -1) ^2; sin (2*A)=(2 — корень (3)*8/3; A=(1/2)*arcsin (2 — корень (3)*8/3); Мы получили решение, имеющее смысл. Поэтому такой треугольник существует. Между прочим, угол 2*А очень близок к 45 градусам.