Точки пересечения линий a и b — M; a и c — K; b и c — P; Для треугольника МКР окружность 2 (центр О2, радиус r) — вписанная, а окружность 1 (центр О1, радиус ρ) — вневписанная (то есть касается стороны КР и продолжений сторон МК и МР). Площадь треугольника МКР обозначена S, площадь A1B1C1 — S1; площадь А2В2С2 — S2; R — радиус описанной вокруг МКР окружности. Углы треугольника МКР обозначены так α=угол КРM; β=угол PКМ; γ=угол КМР; Очевидно, что (угол А2О2В2=угол А1О1В1=180° — γ; угол С1О1В1=αоба угла составляют 180° в сумме с углом B1PC1… или, если хочется, стороны этих углов перпендикулярны попарно…) угол С2O2B2=180° — α; аналогично угол A1O1C1=β; угол A2O2C2=180° — β; Далее, площадь треугольника A2B2C2 равна сумме площадей треугольников O2A2B2; O2B2C2 и O2C2A2; отсюда S2=(r^2/2)*sin (α)+(r^2/2)*sin (β)+(r^2/2)*sin (γ)=r^2*(sin (α)+sin (β)+sin (γ) /2; Площадь треугольника A1B1C1 равна сумме площадей треугольников O1B1C1 и O1C1A1 минус площадь треугольника O1A1B1; отсюда S1=(ρ^2/2)*sin (α)+(ρ^2/2)*sin (β) — (ρ^2/2)*sin (γ)=ρ^2*(sin (α)+sin (β) — sin (γ) /2Примечание: не стоит забывать, что sin (Ф)=sin (180° — Ф) По теореме синусов, КР=2*R*sin (γ); MP=2*R*sin (β); MK=2*R*sin (α); Если обозначить p — полупериметр MKP, то sin (α)+sin (β)+sin (γ)=p/R; sin (α)+sin (β) — sin (γ)=(p — KP) /R; Поскольку S=p*r=(p — KP)*ρа вот должны знать то sin (α)+sin (β)+sin (γ)=S/ (r*R); sin (α)+sin (β) — sin (γ)=S/ (ρ*R); и получается окончательноS1=(ρ^2/2)*S/ (ρ*R)=S*ρ/ (2*R); S2=S*r/ (2*R); и S2/S1=r/ρ; чтд.
