Перечислим свойства скалярного, векторного и смешанного произведений, применяемые при решении геометрических задач. Предполагается, что координаты векторов, указанные в формулах, найдены относительно стандартного базиса в пространстве: Напомним, что в стандартном базисе скалярное, векторное, смешанное произведения векторов вычисляются по формулам (1,10) , (1,16) , (1,17): 1. Вектор тогда и только тогда, когда 2. Ненулевые векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда 3. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда 4. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда 5. Длина вектора вычисляется по формуле: 6. Угол между ненулевыми векторами и вычисляется по формуле: 7. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором, находится по формуле: 8. Ортогональная проекция вектора на ось, задаваемую вектором: 9. Направляющие косинусы вектора находятся по формулам: 10. Единичный вектор, одинаково направленный с вектором, находится по формуле: 11. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и, вычисляется по формуле: 12. Объем параллелепипеда, построенного на векторах, вычисляется по формуле: .13. Тройка некомпланарных векторов — правая (левая) тогда и только тогда, когда (соответственно, .14. Высота параллелограмма, построенного на векторах, вычисляется по формуле (см. Рис. 1,42,6): 15. Высота параллелепипеда, построенного на векторах, находится по формуле (см. Рис. 1,47): 16. Угол между вектором и плоскостью, содержащей векторы и, дополняет до прямого угла угол между вектором и вектором, перпендикулярным плоскости (рис.1,59, а), и вычисляется по формуле: 17. Угол между плоскостями, содержащими векторы и соответственно, вычисляется как угол между векторами перпендикулярными данным плоскостям, по формуле
