Sпол.=Sбок.+Sосн. Пусть АВСД — данный параллелограмм, АВ=4 см, ВС=5 см, меньшая диагональ ВД=3 см. К- вершина данной пирамиды, О- точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольник АВД. Для этого треугольника выполняется т. Пифагора: АД²=АВ²+ ВД², 25=16+9 ⇒ угол АВД=90⁰Следовательно и угол ВДС=90⁰ (как внутренние накрестлежащие) Sосн.=ВД·АВ=3·4=12 см²Sбок.=2S АВК +2S АДКДля нахождения площади АВК проведем высоту из т. К на сторону АВ. По т. О 3-х перпендикулярах — если наклонная перпендикулярна к прямой, то ее проекция тоже перпендикулярна к данной прямой. А из одной точки на плоскости можно провести только одну прямую перпендикулярную данной, следовательно,, основание высоты, провеленной из т. К к стороне АВ совпадает с т. В ⇒ треугольник АВК- прямоугольный. Высота равнв ВК. Находим ее по т. Пифагора из треуг. КОВ (уголО-прямой) ВК²=ОК²+ ВО², ВК²=4+2,25, ВК=√6,25=2,5 смS АВК=½АВ·ВК=½·4·2,5=5 см²Проведем высоту треугольника ВСК, пусть КМ — данная высота, то теореме о 3-х перпендикулярах т. М совпадает с перпендикуляром, проведенным в основании из т.о. оМ — половина высоты основания. Проведем высоту ВЕ основания из т. В на сторону АД. По свойству высоты прямоугольного треугольника высота, проведенная из вершины прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Найдем проекции катетов на гипотенузу: АЕ=АВ²: АД=16/5, ДЕ=ВД²: АД=9/5Тогда ВЕ²=АЕ·ДЕ=16/5·9/5; ВЕ=√ (16·9/25)=12/5Тогда ОМ=½·12/5=6/5По т. Пифагора: КМ²=ОК²+ ОМ²=4+144/25=244/25КМ=√244/25=2/5√61 смS АДК=½·КМ·АД=½·2/5√61·5=√61Sпол.=12+2·√61+2·5=22+2·√61 см²
