Куб со стороной а срезан по противоположным углам, так что в сечении получились…

Условие насчет шара просто задает нам равенство расстояния между сечениями и диаметра окружности, вписанной в треугольники в сечениях. Ясно, что диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, но так же ясно, что диаметр шара равен расстоянию между основаниями, раз шар их касается. Из соображений симметрии понятно и то, что плоскости сечений перпендикулярны большой диагонали куба, соединяющей «отсеченные» вершины (это ОЧЕНЬ просто увидеть, если посмотреть на куб вдоль этой диагонали). Смысл решения такой. Находим большую диагональ d=a*корень (3); далее, пусть сторона треугольника x, тогда диаметр вписанной окружности D=x/корень (3), боковая сторона отсеченных правильных треугольных пирамид равнаx/корень (2), ее проекция на основание (на плоскость треугольника, это радиус ОПИСАННОЙ вокруг правильного треугольника окружности) равна x/корень (3), отсюда высота пирамиды равна H^2=x^2/2 — x^2/3=x^2/6; H=x/корень (6); Ну, и получаем соотношениеd — 2*H=D; то естьa*корень (3) — 2*x/корень (6)=x/корень (3); а радиус шара равен r=D/2=x/ (2*корень (3) a*корень (3)=2*r*(корень (2)+1); r=(1/2)*a*корень (3) / (корень (2)+1); Вроде так