Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая…

Первый способ. Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Обозначим OM=x, OK=y. Тогда OC=2x, OB=2y. По теореме косинусов из треугольников MOB и KOC находим, чтоBM 2=x 2+4y 2 − 4xy cos ∠MOB, CK 2=4x 2+y 2 − 4xy cos ∠KOC. Поскольку BM=1 2 AB, KC=1 2 AC, тоBM 2 < KC 2, или x 2+4y 2 < 4x 2+y 2 (∠MOB=∠KOC). Отсюда следует, что x > y. Поэтому CM=3x > 3y=BK. Второй способ. Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Проведем медиану AN. В треугольниках ANB и ANC сторона AN — общая, BN=CN, а AB < AC, поэтому ∠ANB < ∠ANC (см. Задачу 3606). В треугольниках ONB и ONC сторона ON — общая, BN=CN, а ∠ONB < ∠ONC, поэтому OB < OC. Следовательно,BK=3 2 OB < 3 2 OC=CM.