Докажите, что биссектрисы противоположных углов прямоугольника…

РешениеПусть биссектрисы внешних углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке P, биссектрисы внешних углов при вершинах C и D — в точке Q, внешних углов при вершинах A и D — в точке R, внешних углов при вершинах A и B — в точке S. Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то PQRS — прямоугольник. Пусть M — середина BC. Тогда PM — медиана прямоугольного треугольника BPC, поэтому PM=MC. Значит, < MPC=< PCM=< PCK, где K — точка на продолжении стороны DC за точку C. Следовательно, PM || CD. Аналогично докажем, что если N — середина AD, то RN=ND и RN || CD. Кроме того, MN || CD и MN=CD. Следовательно, точки M и N лежат на диагонали PR прямоугольника PQRS и PR=PM+MN+NR=MC+CD+ND=BC+CD.