Дана трапеция АВСД с основаниями АД=а и ВС=в. Точки М и Н лежат на сторонах АВ и СД…

Задачка симпатичная, хотя и простая. Введем обозначения для краткости записи формул. АО=m; OC=n; MO=x; OН=y; высоту треугольника АМО, проведенную из вершины А к стороне МО, назовем h1, высоту треугольника ОСН к стороне ОН — h2, высоту трепеции — h; Тогда из параллельности MH к основаниям следуют соотношенияx/b=m/ (m+n); h1/h=m/ (m+n); x*h1=b*h*m^2/ (m+n) ^2; y/a=n/ (m+n); h2/h=n/ (n+m); y*h2=a*h*n^2/ (m+n) ^2; По условию x*h1=y*h2; подставляем, получаемa*n^2=b*m^2 (с таким же соотношением длин я вчера сталкивался в совершенно другой задаче n/m=корень (b/a); x=b/ (1+n/m)=b*корень (a) / (корень (a)+ корень (b); y=a*(n/m) / (1+n/m)=a*корень (b) / (корень (a)+ корень (b); складываем, выносим корень (a*b) за скобки, остальное сокращается. Ответ МН=корень (a*b);