7 -8 клас! Признаки ромба, доказательство любого признака (обязательно)

Теорема. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромбПусть ABCD – данный параллелограмм и AC ⊥ BD. Δ AOB=Δ COB по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB=∠ BOC, по условию, AO=OC – по свойству диагоналей параллелограмма, BO – общая). Следовательно, AB=BC. По свойству противолежащих сторон параллелограмма AB=DC, BC=AD, т.е. все стороны равны, значит ABCD – ромб. Теорема доказана! Теорема. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромбПусть ABCD – данный параллелограмм и ∠ CAB=∠ CAD. ∠ CAD=∠ ACB как внутренние накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC. А по условию ∠ CAB=∠ CAD, следует что Δ ABC – равнобедренный (∠ CAB=∠ ACB, признак равнобедренного треугольника). Поэтому, AB=BC. Так как ABCD – параллелограмм, то AB=CD, BC=AD. Тогда AB=BC=CD=AD. Таким образом, ABCD – ромб. Теорема доказана.