1. Докажите, что четырехугольник ABCD являеться ромбом, если А (0,2,0), В (1,0,0) , С (2,0,2) ,D…

1) Сначала докажем, что четырехугольник ABCD параллелограмм: О1: X=0+2:2=1; y=2+0:2=1; z=0+2:2=1-Середина АСО1 (1; 1; 1) О2: x=1+1:2=1; y=0+2:2=1; z=0+2:2=1-Середина BDО2 (1; 1; 1) AB^2=(0-1) ^2+(2-0) ^2+(0-0) ^2=5AD^2=(1-0) ^2+(2-2) ^2+(2-0) ^2=5АВ=AD, так чтоABCD — параллелограмм с равными сторонами, т.е. ромб. 4) т. А (1; 1; 1), т.B (x; y). Вектор AB (x-1; y-1; 0-1). Вектор a (1; 2; 3). Составим уравнения, используя условие коллинеарностиx-1) / 1=(y-1) / 2=(0-1) / 3. Решим уравненияx-1) / 1=(0-1) / 3; x-1=-1/3; x=(3/3) — (1/3)=2/3. (y-1) / 2=(0-1) / 3; y-1=(-1/3)*2; y=(3/3) — (2/3)=1/3. Ответ: Вектор AB (-1/3; -2/3; -1).