Решение не сложно, но требует знаний особенностей решения неоднородных линейных уравнений. Начнем.1. Сначала ищется общее решение (оно получается с произвольными константами), затем, для решения задачи Коши в это решение подставляются начальные условия, в результате, как правило, получается алгебраическая система уравнений, из которой и находятся конкретные значения этих коэффициентов.2. Общее решение неоднородного линейного уравнения, как правило, ищется в виде Y=Yо +Yч, где Yо- ОБЩЕЕ решение однородного уравнения, Yч-ЧАСТНОЕ решение общего уравнения.3. Займемся однородным уравнением. Оно в нашем случае имеет виду"-2*у'=0 действуя по общей схеме, составляем характеристическое уравнениеЛ^2-2*Л=0, откудаЛ=2, Л=0, а значит, ОБЩЕЕ решение нашего однородного уравнения имеет вид Yо=С1*exp (2*х)+ С2 4. Теперь попробуем найти ЧАСТНОЕ решение нашего уравнения. Поглядим на правую часть 6*х*(1+ х) ^2=6*х^3+12*x^2+6*x это многочлен 3 степени. Частное решение будем искать тоже в виде многочлена, но 4 степени (просто слева в нашем уравнении отсутствует У, поэтому степень нужно повысить), то есть в видеYч=A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+EПодставим это наше исходное уравнение и получимY'ч=4*A*x^3+3*B*x^2+2*C*x+DY"ч=12*A*x^2+6*B*x+2*C Y"ч-Y'ч=(-4*A)*x^3+(12*A — 3*B)*x^2+(6-2*C)+(2*C-D) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях этого многочлена и нашего в правой части, получим систему-4*A=612*A — 3*B=126 — 2*C=62*C-D=0 Ее очень легко решить, получивА=-3/2; B=-10; C=0; D=0; таким образом ЧАСТНОЕ решение нашего уравнения имеет вид Yч=(-3/2)*x^4 — 10*x^3 5 А ОБЩЕЕ решения нашего исходного уравнения вид Y=Yо +Yч=С1*exp (2*х)+ С2+(-3/2)*x^4 — 10*x^3 6 Теперь займемся задачей Коши. У (0)=0; у' (0)=1; Так как Y'=2*С1*exp (2*x) — 6*x^3 — 30*x^2, получим систему Y (0)=C1+C2=0Y' (0)=2*C1=1, откуда С1=1/2; С2=-1/2. 7 Все! Мы решили исходную задачу и решение задачи Коши исходного уравнения имеет вид. Y=(1/2)*exp (2*х) — (1/2)+(-3/2)*x^4 — 10*x^3 И, наконец, не списывайте решение, а попробуйте САМИ его получить, следуя инструкциям. Я не исключаю, что мог допустить некоторые арифметические неточности. Успехов.
