Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. Выше) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. 1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры (метод замены переменной и подстановки). 2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах. П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x+cos x=1. Р е ш е н и е. Перенесем все члены уравнения влево: sin x+cos x – 1=0, преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения: П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x+sin x · cos x=1. Р е ш е н и е. cos 2 x+sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x=0 , sin x · cos x – sin 2 x=0 , sin x · (cos x – sin x)=0, П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x+cos 6x=1. Р е ш е н и е. cos 2x+cos 6x=1+cos 8x , 2 cos 4x cos 2x=2 cos ² 4x , cos 4x · (cos 2x – cos 4x)=0 , cos 4x · 2 sin 3x · sin x=0 , 1). cos 4x=0 , 2). sin 3x=0 , 3). sin x=0 , 3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos (или sin) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan. П р и м е р. Решить уравнение: 3sin 2 x+4 sin x · cos x+5 cos 2 x=2. Р е ш е н и е. 3sin 2 x+4 sin x · cos x+5 cos 2 x=2sin 2 x+2cos 2 x , sin 2 x+4 sin x · cos x+3 cos 2 x=0 , tan 2 x+4 tan x+3=0, отсюда y 2+4y+3=0, корни этого уравнения: y1=-1, y2=-3, отсюда 1) tan x=–1, 2) tan x=–3, 4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере: П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x=7. Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2)+5 sin ² (x / 2)=7 sin ² (x / 2)+7 cos ² (x / 2) , 2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2)+12 cos ² (x / 2)=0 , tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2)+6=0 , .5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида: a sin x+b cos x=c, где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное. Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin (здесь — так называемый вспомогательный угол), и наше уравнение принимает вид: 6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы. П р и м е р. Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x=cos 4x. Р е ш е н и е. Преобразуем левую часть в сумму: cos 4x – cos 8x=cos 4x , cos 8x=0 , 8x=p / 2+pk , x=p / 16+pk / 8 . 7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере. П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x=3. Таким образом, решение дает только первый случай.
