Пример №1. Дана функция z=z (x,y), точка A (x0,y0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную данной функции в точке А в направлении вектора a. Решение. z=5*x^2*y+3*x*y^2Градиентом функции z=f (x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.: Находим частные производные: Тогда величина градиента равна: Найдем градиент в точке А (1; 1) илиМодуль grad (z): Направление вектора-градиента задается его направляющими косинусами: Найдем производную в точке А по направлению вектора а (6; -8). Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы: Модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы: Для вектора a имеем: Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает. Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает. Пример №2. Даны z=f (x; y), А (х 0, у 0). Найти а) градиент функции z=f (x; y) в точке А. Б) производную в точке А по направлению вектора а. Пример №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l (1; 2). z=ln (sqrt (x^2+y^2)+2^xРешение. Градиентом функции z=f (x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.: Находим частные производные: Тогда величина градиента равна: Найдем производную в точке А по направлению вектора а (1; 2). Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы: Модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы: Для вектора a имеем: Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает. Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает. Пример №4. Дана функция. Найти: 1) gradu в точке A (5; 3; 0); 2) производную в точке А в направлении вектора. Решение. 1… Найдем частные производные функции u в точке А.; ,. Тогда 2. Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле. Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти, найдем единичный вектор вектора. , где. Отсюда. Пример №5. Даны функция z=f (x), точка А (х 0, у 0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a. Решение. Находим частные производные: Тогда величина градиента равна: Найдем градиент в точке А (1; 1) илиМодуль grad (z): Направление вектора-градиента задается его направляющими косинусами: Найдем производную в точке А по направлению вектора а (2; -5). Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы: Модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы: Для вектора a имеем: Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.
