Каким количеством способов можно разложить 12 шариков по 4-м коробкам? Коробки…

Способов положить k шариков в 1 коробку существует P (k,1)=1 для любого k. Способов положить k шариков в 2 ящикa существует P (k,2)=k+1 (кладем 0,1,2,… ,k шариков в 1-ю коробку, и, соответственно, k,k-1,k-2,… ,0 шариков — во вторую коробку. Всего k+1 возможностей). Также P (0,n)=1 для любого n (мы можем единственным способом разложить 0 шариков по n коробкам). Далее, из рекуррентной формулы P (k,n)=P (0,1) P (k,n-1)+P (1,1)*P (k-1,n-1)+P (2,1)*P (k-2,n-1)+… P (k,1)*P (0,n-1) для P (12,4) и суммирования членов арифметических прогрессий следует наш результат P (12,4)=455. Ответ: 455 способами.