Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом…

Назовем состоянием количество очков до хода игрока. Состояние выигрышно, если приводит к выигрышу игрока, чей сейчас ход, и проигрышно иначе. Все состояния от 1007 до 2011 с очевидностью выигрышные (до 2012 остается только один ход). 1006 — проигрышное (любым ходом переходим в выигрышное состояние 1007 — 2011). Состояния 504 — 1005 — выигрышные (можно следующим ходом перевести игру в проигрышное состояние 1006).503 — проигрышное (дальше выигрышные 504 — 1005).252 — 502 — выигрышные (дальше в 503).251 — проигрышное (252 — 501) 126 — 250 — выигрышные (дальше в 251). Можно и дальше так выписывать, но можно сразу написать, что дальше проигрышные состояния 125, 62, 31, 15, 7, 3. Дальше остается заметить, что выигрышные позиции (которые нужно найти по условию) — это проигрышные состояния. Сумма выигрышных позиций=2012+1006+503+251+125+62+31+15+7+3=4015. Т. К. 2 — выигрышное состояние, то выигрывает первый игрок.