3. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей…

Сечение балки по отношению к сечению бревна, из которого она вырезана, будем рассматривать как прямоугольник, вписанный в окружность. Обозначим через a, b стороны прямоугольника, через d его диагональ, S — площадь прямоугольника (сечения). Для вписанного в окружность четырехугольника произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон, следовательно, для прямоугольника можно записать d2=a2+b2. Так как S=a·b, то b=S/a, отсюда d2=a2+S2/a2. Следовательно, S2=a2 (d2-a2). Для удобства будем рассматривать квадрат площади, так как при максимальном значении площади будет максимальным и ее квадрат. Длина диагонали вписанного в окружность прямоугольника равна диаметру этой окружности, поэтому S2=a2 (2·20) 2-a2)=a2 (1600-a2)=1600a2-a4Для того, чтобы найти максимум или минимум функции, нужно взять от нее производную и приравнять к нулю. (1600a2-a4) '=3200a-4a33200a-4a3=0a (3200-4a2)=0a=0 — в этом случае никакого бруска не будет 3200-4a2=0a2=800a=20√2 смКвадрат площади сечения в этом случае будет равен S2=800·1600 — 8002=640000 см 4Площадь будет равна S=√640000=800 см 2Длина второй стороны прямоугольника будет равна b=800/20√2=20√2 см. Для того, чтобы сечение балки было максимальным, нужно, чтобы оно представляло собой квадрат со сторонами 20√2 см, тогда площадь сечения будет равна 800 см 2.