В трапеции основания АД и ВС равны 36 и 12, а сумма углов при основании АД равна 90º Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СД, если АВ=10 Для успешного решения задачи очень важно сделать правильный рисунок. Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º. Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АКДРассмотрим рисунок. Не составит труда доказать, что треугольники ВКС и АКД — подобны. ∠ К в них — общий, ВС||АД,∠ КСВ=∠КДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей. Коэффициент подобия АД: ВС=36:12=3Тогда АК: ВК=3АК=АВ + ВК (АВ + ВК): ВК=3 (10+ ВК): ВК +310+ ВК=3ВК2ВК=10ВК=5Пусть точка касания окружности и прямой СД будет МСоединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М. Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК — параллелльны. Рассмотрим треугольник АОВ. Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны. Треугольник АОВ — равнобедренный. Проведем в нем высоту ОН. Эта высота — и медиана (треугольник ведь равнобедренный). Следовательно, НВ=5. Рассмотрим четырехугольник НКМО. Это прямоугольник с равными сторонами НК=МО. МО — радиус окружности. НК=НВ + ВК=5+5=10МО=НК=10 Радиус окружности равен 10.
