Поскольку DK — биссектриса угла D, то угол ADK равен углу DKA (который равен CDK), и треугольник ADK равнобедренный, AD=AK; а поскольку АK=KВ; то можно обозначить AK=KB=AD=a; Точно так же легко показать, что BMC равнобедренный треугольник, и BC=CM=MD=b; считаем, что a > b и заданный МЕНЬШИЙ угол при основании — это угол DABэто взаимосвязанные утверждения, потом невозможность другого выбора будет видна из треугольника AEB, в котором из b < a следует ЕВ < AE; а значить и угол напротив меньше) Периметр равен 3*(a+b)=30; поэтому a+b=10; Если продлить AD, BC и KM до пересечения в точке Е (все три прямые пересекутся в одной точке, и KЕ — медиана АВЕ и подобного ему треугольника CDE), и обозначить DE=y; CE=x; то из подобия EDM и EAK следуетy/b=(y+a) /a; Аналогично из подобия EMC и EKBx/b=(x+b) /a; Кроме того, очевидно и то, что y/x=a/bэто НЕ независимое соотношение) Получается y=a*b/ (a — b); x=b^2/ (a — b); Третья сторона треугольника EDC равна 2*b, а косинус угла EDC равен 3/4; Если применить теорему косинусов, тоx^2=y^2+(2*b) ^2 — 2*(2*b)*y*(3/4); или b^2/ (a — b) ^2=(a*b) ^2/ (a — b) ^2+4*b^2 — 3*a*b^2/ (a — b); b^4=a^2*(a — b) ^2+4*b^2*(a — b) ^2 — 3*a*b^2*(a — b) a^2 — b^2)+4*(a — b) ^2 — 3*a*(b — a)=0; a+b+4*a — 4*b — 3*a=0; 2*a=3*b; поскольку a+b=10; то a=6; b=4; Трапеция имеет боковые стороны 4 и 6 и основания 12 и 8. Если провести теперь DQ II MK, то QK=DM= 4, AK=6; то есть AQ=2; отсюда DQ^2=6^2+2^2 — 2*6*2*(3/4)=22; ясно, что DQ=KM; поэтомуKM= √22;
