В правильной четырехугольной пирамиде МАВСД с вершиной М стороны основания…

На самом деле плоскость проходит не через С, а через B и N. На рисунке она правильно изображена. Плоскость АМС сечение пересекает по прямой, параллельной АС. Отсюда сразу следует, что (если обозначить К точку пересечения МА и сечения), что поскольку KN II AC, АК/КС=CN/NM=1/2; Поэтому, во первых, KN=АC*2/3) (из подобия треугольников АМС и MKN), и — во вторых, (если обозначить Р — точку пересечения высоты пирамиды МО и сечения) МР/РО=2/1, то есть Р — точка пересечения медиан треугольника MBD. То есть прямая ВР, лежащая в плоскости сечения — это медиана треугольника MBD. То есть сечение делит MD пополам (надо еще обозначить Q — середина MD). Легко видеть, что KN перпендикулярно плоскости MBD (обоснование! — самостоятельно), то есть KN перпендикулярно BQ. Таким образом, в четырехугольнике BKQN, который получается в сечении, диагонали KN и BQ взаимно перпендикулярны. Площадь BKQN равна половине произведения диагоналей, S=KN*BQ/2; KN=2√2/3; осталось найти BQ. BQ — медиана в равнобедренном треугольнике BMD со сторонами BM=MD=2; BD=√22*BQ) ^2=2*(BD) ^2+MD^2=8; BQ=√2 занятно, что треугольник BQD подобен треугольнику MBD); S=√2*(2√2/3) /2=2/3.