Теорема 1Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами. ДоказательствоРассмотрим угол NАВ, образованный касательной NA и хордой AB. Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол (CAN)=90°Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. Отсюда имеем, что угол (BAC) равен половине угловой величины дуги ВС или половине угла (ВОС). Угол (BAC)=угол (BOC) /2. Угол (NAB)=90°-угол (BAC), отсюда получаемугол (NAB)=90°-угол (BOC) /2=(180°-угол (BOC) /2=угол (АОВ) /2 то есть равен половине угловой величины дуги ВА. Фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). Одна из сторон угла при этом становится касательной. Теорема 2 (о касательной и секущей) Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек ее пересечения с окружностью. ДоказательствоНа рисунке, где MA — касательная, а MCB — секущая, эта теорема выглядит так: МА2=МВ*МС. Докажем это. По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС. Но вписанный угол ABC тоже опирается на дугу AC, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги АС. Оба угла равны половине угловой величины дуги AC, следовательно, эти углы равны между собой. Угол (MAC)=угол (ABC). Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам. Из подобия имеем: MC/MA=МА/MB, откуда получаем МА2=МВ*МС
