Решение. Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.1. Пусть окружность с центром О1 имеет радиус r, окружность центром O2 имеет радиус R, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a. Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O1A, O2B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания. Опустим перпендикуляр O1D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O2B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O1A и O2B. Поскольку O1A // (палочи прямые) O2B, точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O1DFE — прямоугольник, то O1D=EF. Кроме того: O1O=r+x, O1O2=r+R , O2O=R+x , O1E=r-x , O2D=R-r , O1D=EF=EO+OF , O2F=R-x. Далее имеемR+r) ^2 — (R-r) ^2 (все выражение под корнем)=(r+x) ^2 — (r-x) ^2 (все выражение под корнем)=(R+x) ^2 — (R-x) ^2; 2*Rx (Rx под корнем)=2*rx (rx под корнем)+2*Rx (Rx под корнем) 2. Пусть теперь окружность с центром O1 имеет радиус R, окружность с центром O имеет радиус r, а окружность центром O2 имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a (см. Тот же рисунок). Аналогично случаю 1 имеемx+R) ^2 — (x-R) ^2 (все выражение под корнем)=(R+r) ^2 — (R-r) ^2 (все выражение под корнем)+(x+r) ^2 — (x-r) ^2 (все выражение под корнем); 2*Rx (Rx под корнем)=2*Rr (Rr под корнем)+2*rx (rx под корнем)
