Пусть Н-точка пересечения высот треугольника АВС, а АА'- диаметр его описанной…

Ну, эта задача сама по себе очень простая — CH и A'B перпендикулярны AB, то есть  CH II A'B; и точно так же BH и A'C перпендикулярны AC; то есть A'BHC — параллелограмм, а у него диагонали делятся пополам в точке пересечения.  То есть если M — середина ВС, то М — так же и  середина A'H. Интересно вот что. В треугольнике A'AH получилось, что AM  и ОН — медианы,  то есть они делятся точкой их пересечения G в пропорции 1/2, считая от О. То есть 2*OG  =GH; При этом AM — медиана треугольника АВС, и G расположена как раз в точке пересечения медиан треугольника АВС (то есть на расстоянии AG=2*GM, то есть у треугольников АВС и А'AH совпадают точки пересечения медиан.). Это означает, что в произвольном треугольнике точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с центром описанной окружности и делит это отрезок в пропорции 1/2, считая от центра описанной окружности.  Это — знаменитая теорема Эйлера. — между прочим … а прямая ОН называется прямой Эйлера