1) Из центра O окружности, вписанной в трапецию, восстановлен перпендикуляр OM к плоскости трапеции. Найдите радиус окружности, если расстояния от точки M до одной из сторон трапеции и до ее плоскости равны 3 см и 3,4 см. Сделаем рис.№1. Обозначим расстояние от М до стороны трапеции МН. Расстояние между точкой и плоскостью измеряется длиной отрезка, перпендикулярного плоскости. Следовательно, ОМ=3 cм, а расстояние МН от М до стороны трапеции=3,4 cм, так как перпендикуляр всегда короче наклонной, а МН — наклонная, проведенная перпендикулярно стороне трапеции. Любой стороне. Ее проекция ОН также будет перпендикулярной этой стороне (теорема о трех перпендикулярах). Причем это относится к любой стороне трапеции — перпендикуляр из О к стороне трапеции пересекает ее в точке касания окружности и стороны, являющейся в данном случае касательной к окружности. Этот перпендикуляр — проекция расстояния от М до стороны — и будет радиусом вписанной окружности. Найдем его по т. Пифагора: ОН=√ (МН²-ОМ²)=1,6 смОтвет: Радиус окружности равен 1,6 см 2) Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, проекции которых равны 4 и 11 см. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные относятся как 2:5Сделаем рисунок №2, обозначим вершины получившейся фигуры привычными А, В, С. Рассмотрим треугольник АВС, который образован наклонными АВ и ВС и их проекциями АН и НС. Высота ВН- искомый перпендикуляр- может быть найдена из треугольников АВН и ВСН. Выразим ее значение из этих треугольников по т. Пифагора. ВН²=АВ²-АН²ВН²=ВС²-НС²Приравняем эти значения: АВ²-АН²=ВС²-НС²Пусть коэффициент отношения наклонных равен х. Тогда 4 х²-16=25 х²-12121 х²=105 х²=5 х=√5ВН²=АВ²-АН²ВН²=20-16=4ВН=√4=2 смОтвет: Длина перпендикуляра — 2 см
