Задача 4 К окружности с центром в точке О проведены из точки В касательные АВ и ВС (А и С — точки касания), Окружность пересекает отрезок ОВ в точке Т. ∠АВТ=30°. Доказать, что Т — точка пересечения биссектрис ∆ АВС.- Нарисуем окружность и касательные ВА и ВС. Соединим А и С с центром окружности и с точкой В. АВ=ВС как отрезки касательных из одной точки, АО=ОС — радиусы, ОВ — общая сторона. ∠ОВС=∠АВО=30°. Точка Т лежит на ВО ВО — гипотенуза треугольника, в котором катет, противолежащий углу 30°, равен R. ОТ — радиус => ВТ=ОТ. Проведем АК и СР через точку Т до пересечения с АВ и АС. Треугольники АОТ и ТОС образованы радиусами, они равнобедренные и равносторонние, так как центральные углы в них являются и углами прямоугольных треугольников, в которых один из острых углов (при В) равен 30°. Следовательно, центральные углы АОТ и ТОС равны 60°. АС диагональ ромба и является биссектрисой углов ромба АОСТ. => ∠ ТАС=∠ТСА=30° и отсюда СР и АК — биссектрисы углов А и С. Но и ВМ биссектриса треугольника АВС. Точка Т является точкой пересечения биссектрис треугольника АВС.=Задача 5Вершины А, В, С и Д куба АВСДА₁В₁С₁D₁ лежат на окружности. Точкa О — середина ребра АD. Хорда окружности проходит через точку О и параллельна отрезку АС. Вычислить длину этой хорды, если площадь поверхности куба равна 384 см² — Обозначим концы хорды К и Р Проведем в окружности диаметр ВD, который является хордой и диагональю вписанного квадрата. Хорда КР делит диаметр на две части ВМ и МD. Так как КР содержит среднюю линию треугольника АDС, высота треугольника=радиус ЕD разделен в точке М пополам. MD=1/4 диаметра окружности, ВМ=3/4 диаметра Произведения отрезков каждой хорды, получившихся при пересечении этих хорд, равны. Диагонали квадрата при пересечении делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Хорда параллельна диаметру. Диаметр делит хорду, к которой он перпендикулярен, пополам. Пусть КМ=МР=х Тогда х²=1/4 D×3/4 D=(3/16) D х=0,25√3 D КР=2 х=0,5√3 D Длина диаметра окружности равна диагонали грани куба. Ребро куба найдем из площади его поверхности. Граней у куба 6, площадь каждой а²=384:6=64 см² Ребро куба равно а=√64=8 см Диагональ грани равна 8√2 см (d=a√2) Длина хорды КР=(0,5√3) ×8√2=4√6 см
