Площадь треугольника ABC равна 60. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E,…

Решение: Так как BD: CD=1:2, то по свойству биссектрисы, AB: AC=1:2, а так как BK- медиана, то есть точка K делит АС пополам, то AB=AK, то есть треугольник KAB равнобедренный, то есть его биссектриса AE является и медианой одновременно. Это означает, что BE=EK. По свойству медианы это означает что площади треугольников ABE и AEK равны, а так же (так как BK — медиана в ABC) площади ABK и BKC тоже равны. А так как AD — биссектриса, которая желит сторону BC в отношении 1 к 2, то площадь ABD относится к площади ADC так же как 1 к 2 (у этих треугольников общие высоты, а основания находятся в таком отношении). Исходя из того, что площадь ABC есть 60, получаем, что площади треугольников ABK и BKC равны по 30, а ABD и ADC равны 20 и 40 соответственно. Тогда если х — площадь четырехугольника искомого, то площадь BED равна 30-х, площадь ABE равна площади ABD — площадь BED=20- (30-х)=х-10, но площадь AEK такая же, так как они равновеликие с BED, то есть тоже x-10. Но Площадь ADC=40=площадь AEK+ площадь EDCK=x — 10+x=2x — 10=40, то есть х=25. Ответ: площадь EDCK=25