Периметр треугольника ABC равен 18. На сторонах AC и BC взяты точки M и N так что прямая…

Пусть S — площадь АВС, а искомая сторона АВ=х. Радиус вписанной окружности, как известно равен: r=S/p, где р — полупериметр, то есть в нашей задаче: r=S/9Итак MN || AB. Значит тр-ки CMN и ABC — подобны и коэффициент подобия равен: MN/AB=2/xОтношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: S (CMN) /S=4/x²Отсюда площадь тр-ка CMN: S (CMN)=(4S) /x²Другая часть, на которую прямая MN разбила исходный тр-к АВС, — это трапеция AMNB с основаниями х и 2 и высотой равной диаметру вписанной окр-ти, то есть (2S) /9. ЕЕ площадь: S (AMNB)=½*(x+2)*(2S) /9=(x+2) S/9Теперь можем расписать площадь всего тр-ка АВС: S=S (AMNB)+S (CMN) Или: S=(x+2) S/9+(4S) /x²Сократив на S и домножив на общий знаменатель, получим уравнение для х: х³ — 7 х²+36=0Данное кубическое уравнение легко раскладывается на множителих³ — 6 х²) — (х² — 36)=0 х² (х — 6) — (х — 6) (х +6)=0 (х — 6) (х² — х — 6)=0 (х — 6) (х — 3) (х +2)=0Корень -2 отбрасываемОтвет: АВ=6 или 3 — оба корня подходят