Это очень простая задача, и не понятно, что тут объяснять про √3. Есть теорема синусов, из которой сразу следует, что сторона ВПИСАННОГО в окружность треугольника (для которого окружность радиуса R является описанной) равна a=2*R*sin (60) (если очень хочется, то это то же самое, что a=R√3) Теперь надо сообразить, что центры вписаной и описанной окружностей совпадают в правильном треугольнике с точкой пересечения медиан, и радиус описанной окружности — это отрезок медианы (любой) от вершины до точки пересечения, а радиус вписанной окружности — это отрезок медианы (высоты, биссектрисы, это одно и то же в правильном треугольнике) от точки пересечения до высоты. Точка пересечения медиан делит из на отрезки в отношении 2/1, то есть в правильном треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности. Отсюда для стороны ОПИСАННОГО вокруг окружности треугольника b справедливо b=2*R1*sin (60), где R1 — радиус ОПИСАННОЙ вокруг ВНЕШНЕГО треугольника окружности. Как я только что показал, R1=2*R (это тот самый R, который надо найти, потому что для внешнего треугольника окружность радиуса R — вписанная). Получаетсяb=4*R*sin (60)=2*a. То есть разность длин сторон равна длине стороны внутренного треугольника и половине стороны внешнего. А разность периметров равна периметру вписанного треугольника, конечно. Чтобы получить сторону меньшего треугольника, надо просто эту заданную разность периметров поделить на 3. Это все. Хотя соотношение b=2a можно показать и «чисто» геометрически. Дело в том, что вписанная во внешний треугольник окружность пересекает медианы посередине между вершиной и центром. То есть сторона внутреннего треугольника — это средняя линяя в треугольнике с вершиной в центре окружности и стороной внешнего треугольника в качестве основания. ЧТД. Само решение очень простое -18√5/3=a=R√3; R=2√15; Насчет формул. Геометрия — это наука, построенная на логике и воображении, поэтому «формулы» являются всего лишь инструментом, причем второстепенным.
