1. Если построить ВСЕ ТРИ треугольника, образованные высотой пирамиды, апофемой и ее проекцией на основание, то это будут прямоугольные треугольники с равными острыми углами, поскольку грани равнонаклонены к основанию. Поэтому равны все апофемы, и — главное — равны их проекции на основание. То есть проекция вершины пирамиды — это точка, равноудаленная от сторон основания, то есть центр вписанной в основание окружности. 2. В плоскости этого треугольника (можно взять любой из трех, они одинаковые) лежит и отрезок от точки на высоте до стороны основания, заданный в условии, — этот отрезок соединяет эту точку с вершиной апофемы, и образуется равнобедренный треугольник, внешний угол при вершине у которого равен π/2 — β (я считаю, что угол β — это угол между этим отрезком и плоскостью основания, в условии тут неточность — если задан угол с боковой гранью, то β' < => π/4 — β/2). Поэтому острые углы этого равнобедренного треугольника равны π/4 — β/2, причем один из них — это угол между апофемой и высотой пирамиды. Поэтому радиус вписанной в основание окружности равен r=h*tg (π/4 — β/2); 3. С другой стороны, катеты прямоугольного треугольника в основании равныa=r*(1+tg (α/2); b=r*(1+ctg (α/2); откуда площадь основания S=r^2*(1+tg (α/2)*(1+ctg (α/2) /2=r^2*(1+1/sin (α)=h^2*(1+1/sin (α)*(tg (π/4 — β/2) ^2=h^2*(1+1/sin (α)*(1 — sin (β) / (1+sin (β); Объем пирамиды равен V=S*h/3=(h^3/3)*(1+1/sin (α)*(1 — sin (β) / (1+sin (β);
