Найти отношение биссектрис равнобедренного прямоугольного треугольника.

Пусть биссектриса AE проведена к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Треугольник AEB будет прямоугольным, так как биссектриса AE будет одновременно являться его высотой. Боковая сторона AB будет гипотенузой этого треугольника, а BE и AE — его катетами. По теореме Пифагора (AB^2)=(BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2)=sqrt (AB^2) — (AE^2). Так как AE и медиана треугольника ABC, то BE=BC/2. Следовательно, (BE^2)=sqrt (AB^2) — (BC^2) /4). Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника биссектриса AE равна AE=AB/sin (ABC). Угол BAE=BAC/2, так как AE — биссектриса. Отсюда, AE=AB/cos (BAC/2).2Пусть теперь проведена высота BK к боковой стороне AC. Эта высота уже не является ни медианой, ни биссектрисой треугольника. Для вычисления ее длины существует формула Стюарта. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон P=AB+BC+AC. А его полупериметр равен половине суммы длин всех его сторон: P=(AB+BC+AC) /2=(a+b+c) /2, где BC=a, AC=b, AB=c. Формула Стюарта для длины биссектрисы, проведенной к стороне c (то есть, AB), будет иметь вид: l=sqrt (4abp (p-c) / (a+b).3Из формулы Стюарта видно, что биссектриса, проведенная к стороне b (AC), будет иметь такую же длину, так как b=c.