На гипотенузе АВ прямоугольного тр-ка АВС взята точка М так, что АМ=МС. В тр-ке АМС…

Пусть ∠ВАС=α, тогда ∠АВС=90⁰ — αПоскольку ΔАМС — равнобедренный (по условию АМ=МС), то ∠МСА=α, а ∠МСВ=90⁰ — α. Таким образом, в ΔВМС два угла при основании ВС равны∠МСВ=∠АВС=90⁰ — α, следовательно ΔВМС — равнобедренный, и МВ=МС. Но АМ=МС, поэтому АМ=МВ. Медиана МЕ делит сторону Ас пополам, но и точка М делит сторону АВ пополам. Получается, что МЕ — средняя линия ΔАВС, а средняя линия тр-ка всегда параллельна основанию. Поэтому МЕ параллельно ВС, что и требовалось доказать.