Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается. При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая. Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (черт. 331). Пусть / АВС — вписанный угол и центр круга О лежит на стороне ВС. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги АС. Соединим точку А с центром круга. Получим равнобедренный /\ AОВ, в котором АО=ОВ, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, / А=/ В. / АОС является внешним по отношению к треугольнику АОВ, поэтому / АОС=/ А +/ В (§ 39, п. 2), а так как углы А и В равны, то / В составляет 1/2 / АОС. Но / АОС измеряется дугой АС, следовательно, / В измеряется половиной дуги АС. Например, если АС содержит 60° 18', то / В содержит 30°9'. Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (черт. 332). Пусть / АВD — вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что / АВD измеряется половиной дуги АD. Для доказательства проведем диаметр ВС. Угол АВD разбился на два угла: / 1 и / 2./ 1 измеряется половиной дуги АС, а / 2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь / АВD измеряется 1/2 АС +1/2СD, т.е. половиной дуги АD. Например, если АD содержит 124°, то / В содержит 62°. Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (черт. 333). Пусть / МАD — вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что / МАD измеряется половиной дуги МD. Для доказательства проведем диаметр АВ. / МАD=/ МАВ— / DАВ. Но / МАВ измеряется 1/2 МВ, а / DАВ измеряется 1/2 DВ. Следовательно, / МАD измеряется 1/2 (МВ — DВ), т.е. 1/2 МD. Например, если МD содержит 48° 38'16", то / МАD содержит 24° 19' 8". Следствия. 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги (черт. 334, а).
