Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины…

В произвольном выпуклом четырехугольнике — такой четырехугольник с вершинами в серединах сторон — параллелограмм, поскольку противоположные стороны являются средними линиями в треугольниках, образованных боковыми сторонами и диагоналями. Поэтому стороны этого четырехугольника параллельны диагоналям исходного четырехугольника, и — важно! — равны половинам диагоналей (ну, скажем, стороны 1 и 3 параллельны одной диагонали исходного четырехугольника и равны ее половине, а стороны 2 и 4 — другой). Остается сказать, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Следовательно, равны соседние стороны рассмотриваемого параллелограмма — они равны половине диагоналей. Поэтому он — ромб. (Полупустой стакан равен полуполному. Поэтому пустой стакан равен полному