Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Теорема. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Доказательство. Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Δ AOD=Δ COB по первому признаку равенства треугольников (OD=OB, AO=OC по условию теоремы, ∠ AOD=∠ COB, как вертикальные углы). Следовательно, ∠ OBC=∠ ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана. Теорема. Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм. Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD=BC. Тогда Δ ADB=Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (∠ ADB=∠ CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая). Следовательно, ∠ ABD=∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана. Теорема. Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм. Доказательство. Пусть дан четырехугольник ABCD. ∠ DAB=∠ BCD и ∠ ABC=∠ CDA. Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º, ∠ DAB+∠ BCD+∠ ABC+∠ CDA.=360 º. Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то ∠ DAB+#8736 ABC=180 º и ∠ BCD+∠ CDA=180 º. Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 º, поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.
