Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Пусть H…

Пусть AE высота треугольника ACD. Заметим, что в прямоугольных треугольниках OHA и EHD острые углы OHA и EHD равны как вертикальные. А значит, равны и вторые острые углы этих треугольников: EDH=ОAH. Из этого равенства и равенства углов CAB=CDB получаем, что BAO=HAO. А значит, AO – биссектриса треугольника ABH, но она же и высота этого треугольника (диагонали перпендикулярны). И поэтому треугольник ABH равнобедренный. AO — его медиана. BO=OH, ВO=HD (по условию) и значит OH=HD и H – середина отрезка DO.