Я уже решал тут такую задачу, не могу вспомнить номер. Условие неоднозначно, ответ зависит от того, какой именно катет пересекает заданный перпендикуляр. Однако в любом случае, поскольку окружность касается трех сторон треугольника, то это — вписанная окружность. Далее, я не стану каждый раз объяснять, почему отрезки касательных из одной точки до точек касания равны, а буду сразу использовать это, не поясняя (! — нарисуйте чертеж). Кроме того, если касательная параллельна радиусу, то расстояние от ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЭТОГО РАДИУСА до этой (параллельной ему) касательной тоже РАВНО радиусу. Тоже не буду объяснять, а сразу пользоваться. Обозначим х — некая мера измерения сторон прямоугольного треугольника, так что катеты будут 7*х и 24*х, отсюда сразу гипотенуза 25*х, радиус вписанной окружности r=(a+b — c) /2=3*x, отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу — 4*x и 21*x. Перпендикуляр к гипотенузе, касательный к вписанной окружности, можно провес ти 2 способами. 1). Пусть заданный перпендикуляр пересекает МАЛЫЙ катет. Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с малым катетом, на 4*х — 3*х=х; Отсеченный треугольник с катетами x и m=14 подобен исходному, то естьx/m=7/24; х=49/12; r=49/4; 2). Пусть заданный перпендикуляр пересекает БОЛЬШОЙ катет. Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с БОЛЬШИМ катетом, на 21*х — 3*х=18*хеще раз скажу — я уже объяснил раньше, почему это так! Рисуйте чертеж.) Отсеченный треугольник с катетами 18*x и m=14 подобен исходному, то есть 18*x/m=24/7; х=8/3; r=8;
