1) Докажите, что плоскость, проведенная через середину ребер AB, BC, BB1 параллельна плоскости (ACB1). Проведем сравниваемые плоскости в данном кубе, соединив указанные в условии точки. Имеем две плоскости — 2 треугольника — АСВ1 и авс. По условию задачи сВ=аВ, Вв=вВ1. Все эти отрезки равны между собой, т.к. являются половинами ребер куба. Треугольник АСВ1 являет собой равносторонний треугольник, т.к. его стороны равны диагоналям граней куба, а грани куба, как известно, равны. Стороны св=ва=ас — средние линии треугольников СВВ1, АВВ1, АВС соответственно. Средние линии треугольников параллельны основаниям. Св║СВ1 ав║АВ1. Нет необходимости доказывать, что ав перескается с вс, а АВ1 пересекается с СВ1Еcли две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны, что и требовалось доказать. -2) Вычислите периметр треугольника ACB1, если ребро=2 см. Поскольку стороны этого треугольника — диагонали граней куба, а его грани — квадраты со стороной 2 см, найдем длину диагонали куба и затем уже периметр треугольника. Известна формула диагонали куба. Эта формула выведена из теоремы Пифагора, легко запоминается и при решении задач бывает часто нужна: d=а√2 а=2d=2√2 смАС=СВ1=АВ1=2√2 смПериметр треугольника ACB1Р=3d=3*2√2=6√2 см.
