Пусть пирамида имеет вершину S и в основании треугольник АВС. Для простоты обозначим неизвестную сторону основания х. Из точек С и В проведем к ребру АS перпендикуляры. В силу того, что грани АSC и АSВ одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку К на ребре АS. Эти перпендикуляры равны: СК=ВК. Следовательно, треугольник СКВ — равнобедренный. Мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями АSC и АSВ является линейный угол СКВ. Итак, уг. СКВ=2φИз вершины К тр-ка СКВ опустим высоту КД (она же медиана, она же биссектриса) на сторону ВС. В прямоугольном тр-ке СКД уг. СКД=φ. Половина СД стороны основания ВС равна=0,5 х или 0,5 х=СK·sinφ. В тр-ке АSC, являющемся боковой гранью, высоту СК можно найти из площадиS=1/2 CK· ASили поскольку ребро AS=a, тоS=1/2 CK· а, откудаСК=2S/а. Для другой боковой грани — тр-ка BSC, равного тр-ку АSC та же площадьS=1/2 SД· ВС илиS=0,5 SД· х. Из тр-ка СSД найдем SДSД²=SC² — CД² илиSД²=а² — (0,5 х) ² SД=√ (а² — (0,5 х) ²) Теперь пошли обратно по «жирной» цепочкеПодставим SД в S=1/2 SД· х и получимS=0,5 √ (а² — (0,5 х) ²) · хS подставим в СК=2S/а. ПолучимСК=(х/а) ·√ (а² — (0,5 х) ²) Наконец, подставим СК в 0,5 х=СK·sinφ.0,5 х=[√ (а² — (0,5 х) ²) · х/а]·sinφ. Преобразуем и найдем хх/ (2sinφ)=(х/а) ·√ (а² — (0,5 х) ²) 1/ (2sinφ)=(1/а) ·√ (а² — (0,5 х) ²) а=2sinφ·√ (а² — (0,5 х) ²) а²=4sin²φ· (а² — (0,5 х) ²а²=sin²φ· (4 а² — х²) а² — 4 а² ·sin²φ·=- х²·sin²φа² (4sin²φ — 1)=х²·sin²φх=[а·√ (4sin²φ — 1) ]/sinφ — это и есть длина стороны основания
