1) Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) Пересекаться — Даб) быть скрещивающимися — ДаОпределение 2,1. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a || b. В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии. Определение 2,2. Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися. Теорема 2,1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. ДоказательствоПусть A a (чертеж 2,1,1). Прямая a и точка A определяют единственную плоскость α. В этой плоскости проведем через точку A прямую b, параллельную прямой a. Если существует еще одна прямая c, параллельная a и проходящая через точку A, то по определению параллельных прямых c и a определяют некоторую плоскость. Эта плоскость содержит прямую a и точку A, то есть совпадает с плоскостью α. Следовательно, в плоскости α через точку A проходят две прямые, параллельные прямой a, что противоречит аксиоме о параллельных прямых в планиметрии. Замечание. Согласно определению, две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Легко заметить, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость. Теорема 2,2. Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются. ДоказательствоПусть a α, b α=A, A a (чертеж 2,1,2). Допустим, что прямые a и b не скрещивающиеся, то есть они пересекаются. Тогда существует плоскость β, которой принадлежат прямые a и b. В этой плоскости β лежат прямая a и точка A. Поскольку прямая a и точка A вне ее определяют единственную плоскость, то β=α. Но b β и b α, следовательно, равенство β=α невозможно. 2) Могут ли скрещиваться прямые a и b быть параллельными прямой с? По отдельности – да, вместе нет (если так, то a || b, а они, по ус-ловию, скрещивающиеся). 3) Боковые стороны трапеции параллельны плоскости альфа. Параллельны ли плоскость альфа и плоскость трапеции? Да. Боковые стороны пересекаются, а через две пересекающиесяпрямые проходит плоскость, и притом только одна. Раз каждая боковая сторона параллельна пл. α, то и плоскостьтрапеции будет параллельна пл. α (по известному признаку). 4) Две стороны параллелограмма параллельны плоскости альфа. Параллельны ли плоскость альфа и плоскость параллелограмма? Да. АВ || α; DC || α, но пл. ABCD не параллельна α. Ответ: Не обязательно (возможны оба случая). 5) Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные между параллельными плоскостями? Да. Например, здесь ABCD – равнобедренная трапеция
