Пусть к и р — искомые цифры. Тогда имеем ИЗ ПЕРВОГО УТВЕРЖДЕНИЯk^2+p^2=3*k*p+1 Отсюда следует 2 равенства. (k — p) ^2=k*p+1k+p) ^2=5*k*p+1; Поскольку к и р — ЦИФРЫ, то их сумма не превосходит 18. Далее. Предположим, что обе цифры четные. Сразу противоречие, так как квадрат разности будет четным, а левая часть первого равенства — нечетная. Поэтому либо к и р, либо хотя бы одна из них — нечетная. Представим k=2*m+1; p=2*n+1 и подставим в исходную форму первого утверждения. (2*m+1) ^2+(2*n+1) ^2=3*(2*m+1)*(2*n+1)+1; 4*(m^2+n^2+m+n)=3*4*m*n+3*2*(m+n)+3 единички сократились) Опять противоречие — слева четное, а справа нечетное. Поэтому ЦИФРЫ к и р — РАЗНОЙ ЧЕТНОСТИ. Это означает, что 5*к*р кратно 10, а выражение 5*к*р +1 заканчивается на 1. В промежутке от 2 до 18 есть только 2 числа, квадрат которых заканчивается на 1 — это 9 (квадрат 81) и 11 (квадрат 121). Напоминаю, что (k+p) ^2=5*k*p+1; то есть 5*k*p+1 — полный квадрат. Но число 81 не подходит, потому что 80=5*16, а 16 НЕ ИМЕЕТ НЕЧЕТНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ. А цифры наши должны быть разной четности. С 121 лучше -120=5*24, а 24=8*3, и это ЕДИНСТВЕННОЕ представление в виде произведения нечетного и четного числа. Итак, у нас осталась пара цифр 3 и 8. Из них можно составить числа 38 и 83. Первое число противоречит второму условию 10*к + р=7*i+6; Зато 83 как раз ему удовлетворяет 83=7*11+6. Ответ 83
