Найдем производную f´ (x)=(x^4-2x^2-3) ´=(x^4) ´-2 (x^2) ´- (3) ´=4 х³-4 х-0=4 х³-4 х=4 х (х²-1)=4 х (х-1) (х +1) Найдем критические точки, т. Е f´ (x)=0 4 х (х-1) (х +1)=0 х=0 или х=1 или х=-1 ______-__-1___+______0_____-______1___+_____→Х f´ (-2)=4*(-2) (-2-1) (-2+1)=4*(-2) (-3) (-1) <0 (нас интересует знак, а не число) f´ (-0,5)=4*(-0,5) (-0,5-1) (-0,5+1)=4*(-0,5) (-1,5)*0,5>0 f´ (0,5)=4*0,5*(0,5-1) (0,5+1)=4*0,5*(-0,5)*1,5<0 f´ (2)=4*2*(2-1) (2+1)=4*2*1*3>0 В точке х=-1 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума; В точке х=0 производная меняет знак с + на -, значит это точка максимума; В точке х=1 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума; 2) f (x)=x^2+3x /x+4 Найдем производную f´ (x)=(x^2+3x /x+4) ´=(x^2+3x) ´ (х +4) — (x^2+3x) (x+4) ´/ (x+4) ²=(2 х +3) (х +4) — (х²+3 х)*1/ (х +4) ²=(2 х²+8 х +3 х +12-х²-3 х) / (х +4) ²=(х²+8 х +12) / (х +4) ²=(х +2) (х +6) / (х +4) ² Найдем критические точки, т. Е f´ (x)=0 (х²+8 х +12) / (х +4) ²=0 х²+8 х +12=0 и Х +4≠0; х≠-4 Д=8²-4*1*12=64-48=16; х₁=-8+√16/2=-2; х₂=-8-√16/2=-6 т.е. (х²+8 х +12) / (х +4) ²=(х +2) (х +6) / (х +4) ², т.к. (х +4) ²>0, нас интересует только знак, поэтому рассматриваем равносильное выражение (х +2) (х +6) ______+__-6___-_____-4_____-______-2___+_____→Х f´ (-7)=(-7+2) (-7+6)=-5*(-1) >0 f´ (-5)=(-5+2) (-5+6)=-3*1<0 f´ (-3)=(-3+2) (-3+6)=-1*3<0 f´ (0)=(0+2) (0+6)=2*6>0 В точке х=-6 производная меняет знак с + на — значит это точка максимума; В точке х=-4 производная не меняет знак, значит это точка не является точкой экстремума; В точке х=-2 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума; Удачи!
