Доказать неравенство: tgA*tgB<1, если A и B — острые углы тупоугольного треугольника

Доказательство: A и B — острые углы тупоугольного треугольника, значит угол С тупой и 00,cos B>0 (*) tgA*tgB<1 равносильно неравенствуtgA*tgB-1<0Рассмотрим левую часть неравенства, используя тригонометрические формулыtg x=sin x\cos xcos (A+B)=cosA*cosB- sinAsinBcos (180-A)=-cos Aи соотношение углов треугольника A+B+C=180 и учитывая (*): tgA*tgB-1=sinA\cos A*sin B\cos B-1=(sinAsinB-cosA*cosB) \ (cos A*cos B)=-cos (A+B) \ (cos A*cos B)=cos (180- (A+B) \ (cos A*cos B)=cos C\ (cos A*cos B) <0, А значит tgA*tgB-1<0, или tgA*tgB<1, что и требовалось доказать.